Modello di Black-Scholes: il prezzo di un'opzione

Due investitori possono essere d'accordo su dove sarà il prezzo di un'azione tra un anno e litigare lo stesso su quanto vale oggi un'opzione su quell'azione. Il premio di un'opzione non nasce dal punto di arrivo. Nasce da quanta strada il prezzo può ancora fare prima della scadenza, e il modello di Black-Scholes è il modo standard per trasformare questa idea in un numero che puoi davvero usare.

Da dove arriva la formula

Fischer Black e Myron Scholes pubblicarono The Pricing of Options and Corporate Liabilities sul Journal of Political Economy nel 1973. Nello stesso anno Robert Merton pubblicò un lavoro strettamente collegato e ne generalizzò il risultato, ed è per questo che spesso trovi scritto Black-Scholes-Merton. La coincidenza fu quasi comica: il Chicago Board Options Exchange aprì proprio nel 1973, quindi un mercato ordinato di opzioni standardizzate e un modo credibile per calcolarne il prezzo arrivarono insieme. Nel 1997 Scholes e Merton ricevettero il Nobel per l'economia; Black era morto nel 1995 e quel riconoscimento non si assegna alla memoria. In Italia le opzioni quotate sono arrivate molto più tardi, negli anni novanta, con l'IDEM, il mercato dei derivati di Borsa Italiana.

Il trucco è copiare l'opzione, non prevedere l'azione

Ecco la parte che spiazza tutti la prima volta: il modello non ti chiede cosa pensi dell'azione. Black e Scholes mostrarono che il risultato finale di un'opzione si può riprodurre tenendo una certa quantità di azioni, prendendo a prestito o prestando la differenza, e correggendo quel mix man mano che il prezzo si muove. Se un portafoglio copia l'opzione, allora l'opzione deve costare quanto costa la copia. Se così non fosse, compreresti quella a buon mercato, venderesti quella cara e incasseresti la differenza senza rischio. Qualcuno lo farebbe. È per questo che il rendimento atteso dell'azione non compare nella formula: un ottimista e un pessimista che concordano su quanto quel prezzo oscilla concordano anche sul valore dell'opzione, pur pensandola all'opposto sull'azienda.

Le sei variabili e in che direzione spingono

Due sono ovvie. Il prezzo corrente dell'azione, cioè il sottostante, e il prezzo di esercizio, lo strike, dicono insieme quanto l'opzione è lontana dal pagare qualcosa. Una call con strike sopra il prezzo di oggi paga solo se l'azione lo supera, quindi più lo strike è lontano, meno la call costa e meno è probabile che finisca per contare qualcosa. Se l'azione sale, la call vale di più e la put di meno. Nessun mistero. Occhio al vocabolario, perché qui inganna: il premio è il prezzo che paghi per l'opzione, non un guadagno che incassi.

Il tempo alla scadenza è la prima variabile meno banale di quanto sembri. Più tempo significa più spazio per muoversi, quindi un'opzione lunga costa più di una identica ma corta. La parte di premio che stai pagando solo per il tempo che resta si chiama valore temporale, e si scioglie da sola: non a ritmo costante, ma sempre più in fretta man mano che la scadenza si avvicina. Un'opzione a cui resta un mese ne perde ogni giorno una fetta molto più grande di una a cui resta un anno. Quella velocità di scioglimento si chiama theta, ed è la greca che frega quasi tutti i principianti: comprano l'opzione e poi aspettano con pazienza che l'azione si muova.

La volatilità fa quasi tutto il lavoro

La volatilità nel modello è la deviazione standard annualizzata dei rendimenti dell'azione, cioè un modo formale per dire quanto il prezzo tende a ballare. Se sale, call e put diventano entrambe più care. Sembra sbagliato finché non guardi l'asimmetria di chi compra: il massimo che può perdere è il premio pagato, mentre al rialzo non c'è un tetto. Oscillazioni più ampie allargano quindi il lato buono senza allargare quello cattivo, che è già fermo al premio. La volatilità è anche l'unica variabile che non puoi andare a leggere da qualche parte. Prezzo, strike, giorni residui, tasso e dividendi attesi sono fatti; la volatilità da qui alla scadenza è una stima, e quasi ogni disaccordo sul valore di un'opzione si riduce a un disaccordo su quel singolo numero.

Tassi e dividendi, i due silenziosi

Comprare una call invece dell'azione significa rimandare il pagamento dello strike, e i soldi che non hai ancora tirato fuori restano a rendere il tasso privo di rischio. Tassi più alti riducono quindi il valore attuale di quel pagamento futuro e fanno salire le call, mentre fanno il contrario con le put. L'effetto esiste, ma accanto alla volatilità è piccolo. I dividendi tirano dall'altra parte. Chi ha l'opzione non li incassa, e il giorno dello stacco l'azione tende a scendere all'incirca dell'importo staccato, quindi dividendi attesi generosi pesano sulle call e sostengono le put. È per questo che la versione del modello che si usa davvero ha un parametro apposta per i dividendi: il lavoro del 1973 immaginava un'azione che non ne pagava affatto.

Un esempio con numeri volutamente tondi

Prendi un'azione che quota 100 e una call con strike 100. I numeri servono solo da esempio, sono scelti perché stanno in testa, non perché descrivano un'azione vera. Quell'opzione non ha valore intrinseco: esercitarla oggi non porterebbe niente, quindi tutto quello che costa è il pagamento per ciò che può succedere da qui alla scadenza. Confronta due versioni della stessa call, una che scade tra un mese e una tra un anno. Quella a un anno costa parecchio di più, e ogni centesimo di differenza compra soltanto undici mesi in più in cui il prezzo può muoversi. Ora sposta lo strike a 120 e la call diventa molto più economica, perché l'azione deve salire di un quinto prima che a scadenza valga qualcosa. Dimezza la volatilità ipotizzata ed entrambe le call costano meno, ma quella con strike 120 perde in proporzione molto di più, perché uno strike lontano dipende interamente dal fatto che il movimento grande accada davvero. È tutta qui la ragione per cui le opzioni molto fuori dal denaro costano poco. Non ti stanno regalando un affare, ti stanno vendendo una probabilità bassa.

Opzioni, covered warrant e certificati non sono la stessa cosa

In Italia il risparmiatore incontra le opzioni quasi sempre di rimbalzo, cioè dentro un altro prodotto. I certificati e i covered warrant quotati sul SeDeX di Borsa Italiana sono costruiti con le stesse opzioni di cui parla Black-Scholes, ma sono titoli emessi da una banca: chi li compra si prende anche il rischio che l'emittente non paghi. Un'opzione quotata sull'IDEM è invece un contratto standardizzato, con una controparte centrale che garantisce l'esecuzione e margini da versare ogni giorno per chi vende. Poi c'è il certificato con barriera, il tipo che in banca ti capita davanti spesso. Non è un'obbligazione, anche se nella forma le somiglia: quanto ti rende dipende da una put che, nella sostanza, hai venduto tu all'emittente. La cedola generosa che ti attira è il premio di quell'opzione, incassato senza accorgertene.

Il documento da guardare prima di firmare esiste, ed è corto. Per un certificato o un covered warrant è il KID, il documento contenente le informazioni chiave previsto dal regolamento europeo PRIIPs, dove trovi l'indicatore sintetico di rischio, gli scenari di performance e i costi; accanto ci sono il prospetto di base e le condizioni definitive, che dicono esattamente quale opzione hai in mano, con quale strike e quale scadenza. La vigilanza su questi mercati e sui documenti d'offerta spetta alla Consob, che sul proprio sito cura anche una sezione di educazione finanziaria per i risparmiatori. Leggere strike e scadenza sul KID e poi rifare il conto con un modello è l'unico modo serio per capire quanto stai pagando l'opzione nascosta dentro il prodotto.

Cosa assume il modello e cosa fanno davvero i mercati

La matematica ha bisogno di un prezzo che si muova a piccoli passi continui, con volatilità costante, senza salti e senza buchi, in un mercato sempre aperto e senza costi di transazione. I prezzi veri si rifiutano di comportarsi così. Una società pubblica i conti trimestrali a mercati chiusi e il mattino dopo l'azione riapre a un livello completamente diverso, senza essere passata per quelli in mezzo. Nessuno aggiusta la copertura in continuo, e ogni aggiustamento costa. C'è poi il tipo di esercizio: la formula standard prezza opzioni europee, esercitabili solo a scadenza. Sull'IDEM le opzioni sull'indice FTSE MIB, le MIBO, sono di stile europeo e la formula le descrive bene, mentre le opzioni sulle singole azioni italiane, le cosiddette isoalfa, sono di stile americano e si possono esercitare in qualunque giorno di negoziazione. Niente di tutto questo rende il modello inutile. Lo rende una semplificazione di cui devi conoscere i bordi.

Lo smile di volatilità è il mercato che dice no

Se il modello descrivesse la realtà, un solo numero di volatilità basterebbe a prezzare tutte le opzioni sullo stesso sottostante con la stessa scadenza, qualunque sia lo strike. Non è così. Parti dai prezzi veri di mercato e vai a ritroso: ogni strike ti restituisce una volatilità diversa, di solito più alta per gli strike ben sotto il prezzo corrente. Gli operatori chiamano «smile» questa forma, e «skew» quando pende tutta da una parte; sulle opzioni sugli indici azionari quella pendenza è diventata un tratto permanente dopo il crollo dell'ottobre 1987. Il motivo non è misterioso: i mercati scendono più in fretta e più violentemente di quanto un modello continuo consenta, e per proteggersi proprio da quello gli investitori pagano soldi veri. Lo smile è il prezzo della coda che il modello ha lasciato fuori.

La volatilità implicita è il modello girato al contrario

Quel conto a ritroso merita un nome, perché è il modo in cui le opzioni si discutono davvero. Invece di inserire una volatilità e leggere un prezzo, inserisci il prezzo osservato sul mercato e cerchi la volatilità che farebbe tornare il modello. La risposta è la volatilità implicita, e i professionisti quotano le opzioni in quella invece che in euro, perché un premio di due euro non dice niente finché non sai anche strike e scadenza, mentre un numero di volatilità si confronta tra strike diversi e tra scadenze diverse. Leggila però per quello che è e niente di più. La volatilità implicita è l'attesa collettiva su quanto l'azione si muoverà, in una direzione o nell'altra, più quello che chi vende chiede in più per portarsi addosso il rischio. Non dice da che parte. Un valore alto nei giorni prima di una trimestrale non è una previsione di brutte notizie, dice che il ventaglio dei risultati possibili si è allargato, ed è esattamente per questo che le opzioni su quella data costano di più.

Come usare un prezzo teorico senza fidarsene

Tratta il risultato come un punto di riferimento, non come un verdetto. Il prezzo di Black-Scholes ti dice quanto dovrebbe costare l'opzione se l'azione si comportasse come hai ipotizzato, quindi il suo mestiere vero è mettere in chiaro quell'ipotesi e costringerti a guardarla. Se il mercato chiede più del tuo numero, quasi mai hai trovato un prezzo sbagliato: hai trovato un mercato che si aspetta più movimento di te, e la domanda utile è chi dei due ha la ragione migliore. Allora fai questo, prima di comprare o vendere qualsiasi cosa. Calcola l'opzione due volte, una con la volatilità in cui credi e una con la volatilità che il mercato sta facendo pagare, e guarda la distanza fra i due numeri. Se non sai spiegare in una frase semplice perché sono diversi, non hai ancora una ragione per fare l'operazione, ed è lì che di solito cominciano i guai.

Scritto da

Federico Romaldi

Co-fondatore, Worthmap

Pubblicato: 14 agosto 2026

Federico è co-fondatore di Worthmap, una piattaforma di intelligenza patrimoniale per investitori seri. Con esperienza nell’ingegneria del software e una lunga passione per il value investing, ha creato Worthmap per colmare il divario tra monitoraggio del patrimonio e analisi degli investimenti.