Modèle de Black-Scholes : le prix d'une option expliqué

Deux investisseurs peuvent tomber d'accord au centime près sur le cours qu'atteindra une action dans un an et continuer à se disputer sur ce que vaut aujourd'hui l'option qui porte dessus. Une option ne se paie pas en fonction du point d'arrivée. Elle se paie en fonction du chemin que l'action peut encore parcourir d'ici l'échéance, et le modèle de Black-Scholes reste la façon standard de transformer cette idée en un nombre utilisable.

D'où vient la formule

Fischer Black et Myron Scholes publient The Pricing of Options and Corporate Liabilities dans le Journal of Political Economy en 1973. Robert Merton généralise le résultat la même année, d'où le nom de Black-Scholes-Merton que vous croiserez souvent. Le calendrier a de quoi faire sourire : le Chicago Board Options Exchange ouvre ses portes cette année-là, si bien qu'un vrai marché d'options standardisées et une méthode crédible pour les évaluer arrivent ensemble. Scholes et Merton reçoivent le prix Nobel d'économie en 1997 ; Black était mort en 1995 et le prix ne se décerne pas à titre posthume. En France, il faut attendre l'ouverture du MONEP, le marché des options négociables de Paris, à la fin des années 1980, pour que les particuliers accèdent à des options cotées en francs puis en euros. Ce marché a ensuite été absorbé par Euronext, qui liste aujourd'hui les options sur actions françaises et sur l'indice CAC 40.

L'astuce consiste à reproduire l'option, pas à prévoir l'action

Voici la partie qui surprend tout le monde la première fois. Le modèle ne vous demande jamais ce que vous pensez de l'action. Black et Scholes ont montré que le gain d'une option peut être reconstitué en détenant une certaine quantité du sous-jacent, en empruntant ou en plaçant le reste, puis en ajustant ce dosage au fur et à mesure que le cours bouge. Si un portefeuille copie l'option à l'identique, l'option doit coûter ce que coûte la copie. Sinon, vous achèteriez la moins chère, vous vendriez la plus chère et vous encaisseriez l'écart sans prendre le moindre risque. Quelqu'un finirait par le faire. C'est pour cette raison que le rendement attendu de l'action n'apparaît nulle part dans la formule. Un optimiste et un pessimiste qui s'accordent sur l'ampleur des soubresauts du titre s'accorderont sur le prix de l'option, même s'ils sont en désaccord total sur l'entreprise.

Les six paramètres, et le sens dans lequel chacun pousse

Deux d'entre eux vont de soi. Le cours actuel et le prix d'exercice, que les salles de marché appellent le strike, fixent ensemble la distance qui sépare l'option du moment où elle rapporte quelque chose. Le vocabulaire français est ici très parlant : une option est dans la monnaie quand l'exercer rapporterait, à la monnaie quand le cours et le prix d'exercice se touchent, hors de la monnaie quand elle ne vaudrait rien si l'échéance tombait maintenant. Un call dont le prix d'exercice se situe très au-dessus du cours ne paie que si l'action grimpe jusque-là, donc plus ce prix d'exercice est lointain, moins la prime coûte cher et moins l'option a de chances de servir un jour. Montez le cours et le call vaut davantage, le put vaut moins.

La durée restante est le premier paramètre moins simple qu'il n'y paraît. Plus il reste de temps, plus le cours dispose de place pour bouger, donc une échéance lointaine coûte plus cher qu'une échéance proche, toutes choses égales par ailleurs. Mais cette valeur temps s'évapore, et elle s'évapore de plus en plus vite à mesure que l'échéance approche, pas à rythme constant. Une option à un mois de son terme abandonne chaque jour une part bien plus grande de ce qui lui reste qu'une option à un an. Cette fuite porte un nom, le thêta, et c'est de loin celle des grecques qui piège le plus de débutants : ils achètent une option, ils attendent sagement qu'elle travaille, et pendant ce temps elle se vide.

La volatilité fait l'essentiel du travail

Dans le modèle, la volatilité désigne l'écart type annualisé des rendements du titre, autrement dit l'ampleur habituelle de ses écarts. Augmentez-la et le call comme le put deviennent plus chers. Cela paraît illogique tant qu'on n'a pas regardé l'asymétrie dont profite l'acheteur : il ne peut perdre que la prime versée, alors que son gain reste ouvert. Des écarts plus larges épaississent le côté favorable de la distribution sans rien coûter de plus du côté défavorable, puisque la perte, elle, est déjà bornée à la prime. La volatilité est aussi le seul paramètre que vous ne pouvez consulter nulle part. Le cours, le prix d'exercice, les jours restants, le taux et les dividendes attendus sont des faits. La volatilité future sur la durée de vie de l'option est une hypothèse, et presque toutes les disputes sur ce que vaut une option se ramènent à une dispute sur ce seul chiffre.

Taux sans risque et dividendes, les deux discrets

Acheter un call plutôt que l'action revient à repousser le paiement du prix d'exercice, et l'argent que vous n'avez pas encore décaissé peut rapporter le taux sans risque. En zone euro, la référence prise pour les échéances très courtes est en général le taux €STR publié par la Banque centrale européenne ; pour les échéances plus longues, on prend plutôt le rendement des OAT émises par l'Agence France Trésor. Un taux plus élevé réduit la valeur actuelle de ce paiement futur, ce qui soutient les calls et pèse sur les puts. L'effet est réel, mais minuscule à côté de celui de la volatilité. Les dividendes tirent dans l'autre sens. Le détenteur d'une option n'en touche aucun, et le cours d'une action recule à peu près du montant du dividende le jour du détachement, si bien que les dividendes attendus font baisser les calls et monter les puts. C'est pourquoi la version réellement utilisée du modèle comporte un paramètre de dividende : l'article de 1973 supposait une action qui n'en versait aucun.

Un exemple chiffré, avec des nombres volontairement ronds

Prenez une action qui cote 100 et un call dont le prix d'exercice vaut lui aussi 100. Ces nombres servent uniquement d'illustration, choisis parce qu'ils se retiennent facilement, pas parce qu'ils décrivent un titre réel. Cette option n'a aucune valeur intrinsèque : l'exercer aujourd'hui ne rapporterait rien du tout. Tout ce qu'elle coûte paie donc ce qui peut arriver d'ici l'échéance. Comparez maintenant deux versions du même contrat, l'une à un mois, l'autre à un an. Le call à un an coûte nettement plus cher, et cette différence n'achète rien d'autre que onze mois de plus pendant lesquels le cours peut bouger.

Changez un paramètre à la fois et vous sentez la mécanique tourner. Poussez le prix d'exercice à 120 et le call devient beaucoup moins cher, puisque l'action doit désormais grimper d'un cinquième avant que l'option vaille quoi que ce soit à l'échéance. Divisez ensuite par deux la volatilité retenue : les deux options coûtent moins cher, mais celle dont le prix d'exercice vaut 120 perd proportionnellement bien davantage, parce qu'un prix d'exercice lointain ne rapporte quelque chose que si un grand mouvement se produit vraiment. Voilà toute l'explication du prix dérisoire des options largement hors de la monnaie. On ne vous offre pas une bonne affaire. On vous vend une faible probabilité.

Option, warrant, turbo : trois produits que l'on confond

En France, beaucoup d'épargnants rencontrent ces mécanismes pour la première fois sous la forme d'un warrant ou d'un turbo, largement commercialisés sur Euronext Paris par des banques émettrices. La différence avec une option n'a rien de cosmétique. Une option cotée est un contrat standardisé négocié sur un marché organisé, avec une chambre de compensation qui se place entre l'acheteur et le vendeur, tandis qu'un warrant est un titre émis par un établissement financier : vous pouvez seulement l'acheter, jamais le vendre à découvert, c'est l'émetteur qui affiche les cours et retient donc lui-même la volatilité, et vous portez en plus son risque de crédit. Le document à ouvrir avant tout achat est le document d'informations clés, le DIC prévu par le règlement européen PRIIPs, qui présente l'indicateur de risque, les frais et les scénarios de performance du produit. L'Autorité des marchés financiers, le régulateur français, revient régulièrement sur les dangers des produits à effet de levier vendus aux particuliers, et votre intermédiaire doit vous faire remplir un questionnaire de connaissance et d'expérience avant de vous en ouvrir l'accès. Retenez enfin qu'aucun de ces produits, ni l'option cotée, ni le warrant, ni le turbo, ne peut être logé dans un PEA : ils se détiennent sur un compte-titres ordinaire.

Ce que le modèle suppose, et ce que les marchés font vraiment

Les mathématiques exigent un cours qui avance par petits pas continus, à volatilité constante, sans trou ni saut, sur un marché qui ne ferme jamais et où négocier ne coûte rien. Les cours réels refusent de se tenir ainsi. Une société publie ses résultats après la clôture et rouvre le lendemain à un tout autre niveau. Un régulateur fait une annonce. Personne ne rééquilibre sa couverture en continu, et chaque ajustement se paie. La formule standard évalue par ailleurs des options européennes, exerçables à la seule échéance : sur Euronext, les options portant sur l'indice CAC 40 sont de type européen, alors que celles portant sur des actions individuelles sont en général de style américain et s'exercent à tout moment. Rien de tout cela ne rend le modèle inutile. Cela en fait une simplification dont il faut connaître les bords.

Le smile de volatilité, c'est le marché qui dit non

Si le modèle décrivait la réalité, un seul chiffre de volatilité suffirait à évaluer toutes les options portant sur la même action à la même échéance, quel que soit le prix d'exercice. Ce n'est pas le cas. Remontez le calcul à partir des vrais prix de marché et chaque prix d'exercice vous rend une volatilité différente, en général plus élevée pour les prix d'exercice nettement inférieurs au cours. Les praticiens appellent cette forme un smile, ou un skew quand elle penche d'un côté, et sur les options d'indice actions cette inclinaison est devenue permanente après le krach d'octobre 1987. La raison n'a rien de mystérieux. Les marchés chutent plus vite et plus brutalement qu'un modèle continu ne l'autorise, et les investisseurs paient de l'argent bien réel pour se protéger précisément de cela. Euronext publie aussi un indice de volatilité adossé au CAC 40, qui donne une idée de la nervosité que le marché facture à un instant donné. Le smile est le prix de la queue de distribution que le modèle avait laissée de côté.

La volatilité implicite, c'est le modèle pris à l'envers

Ce calcul à l'envers mérite qu'on le nomme, parce que c'est ainsi que les options se discutent vraiment. Au lieu d'entrer une volatilité et de lire un prix, vous entrez le prix observé sur le marché et vous cherchez la volatilité qui permettrait au modèle de retrouver ce prix. La réponse s'appelle la volatilité implicite, et les professionnels cotent les options en volatilité plutôt qu'en euros, parce qu'une prime de deux euros ne dit rien tant qu'on ignore le prix d'exercice et l'échéance, alors qu'un chiffre de volatilité se compare d'une ligne à l'autre. Lisez-la ensuite pour ce qu'elle est et rien de plus : l'attente collective du marché sur l'ampleur du mouvement, dans un sens ou dans l'autre, augmentée de ce que les vendeurs réclament pour porter ce risque. Elle ne dit rien de la direction. Une valeur élevée dans les jours qui précèdent une publication de résultats n'annonce pas une mauvaise nouvelle : elle constate que l'éventail des scénarios possibles vient de s'élargir, ce qui est exactement la raison pour laquelle les options couvrant cette date coûtent plus cher.

Se servir d'un prix théorique sans lui faire confiance

Traitez le résultat comme un point de repère, jamais comme un verdict. Un prix théorique vous dit ce que devrait coûter l'option si l'action se comporte comme vous l'avez supposé, et son vrai travail est de sortir votre hypothèse au grand jour. Si le marché demande plus que votre chiffre, vous n'avez probablement pas déniché une anomalie de prix : vous avez trouvé un marché qui attend plus de mouvement que vous, et la question utile devient de savoir lequel de vous deux a la meilleure raison. Employé ainsi, Black-Scholes est un outil de réflexion, pas un détecteur de bonnes affaires. Alors prenez cette habitude avant d'acheter ou de vendre quoi que ce soit : calculez le prix de l'option deux fois, une première avec la volatilité à laquelle vous croyez, une seconde avec celle que le marché facture, puis regardez l'écart entre les deux. Si vous ne savez pas expliquer en une phrase simple pourquoi ces deux chiffres diffèrent, vous n'avez pas encore de raison d'entrer en position, et c'est précisément à ce moment, quand de l'argent réel se place derrière une intuition jamais formulée, que les dégâts commencent.

Écrit par

Federico Romaldi

Co-fondateur, Worthmap

Publié: 14 août 2026

Federico est co-fondateur de Worthmap, une plateforme d’intelligence patrimoniale pour les investisseurs sérieux. Fort d’une expérience en génie logiciel et d’une passion de longue date pour l’investissement value, il a créé Worthmap pour combler le fossé entre le suivi du patrimoine et l’analyse des investissements.