Black-Scholes-Modell: So wird ein Optionspreis berechnet

Zwei Anleger können sich völlig einig sein, wo eine Aktie in zwölf Monaten steht, und trotzdem über den Preis einer Option auf genau diese Aktie streiten. Eine Option wird nämlich nicht danach bewertet, wo der Kurs am Ende landet. Sie wird danach bewertet, wie weit er bis zum Verfallstag überhaupt wandern kann. Das Black-Scholes-Modell ist der Standardweg, aus dieser Idee eine Zahl zu machen, mit der Sie tatsächlich arbeiten können.

Woher die Formel kommt

Fischer Black und Myron Scholes veröffentlichten 1973 im Journal of Political Economy den Aufsatz The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Robert Merton legte im selben Jahr eine eng verwandte Arbeit vor und verallgemeinerte das Ergebnis, weshalb das Modell oft Black-Scholes-Merton heißt. Im gleichen Jahr nahm in den USA die Chicago Board Options Exchange den Handel auf. Der erste Markt für standardisierte Optionen und die erste glaubwürdige Methode, ihren Preis auszurechnen, entstanden also fast zeitgleich. 1997 erhielten Scholes und Merton den Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften. Black war 1995 gestorben, und der Preis wird nicht posthum vergeben. In Deutschland dauerte das alles deutlich länger: Die Deutsche Terminbörse nahm den Handel erst 1990 auf und ging 1998 zusammen mit der Schweizer SOFFEX in der Eurex auf.

Der Trick ist Nachbauen, nicht Prognostizieren

Jetzt der Teil, der beim ersten Mal alle überrascht. Das Modell fragt nie, was Sie von der Aktie halten. Black und Scholes zeigten, dass sich die Auszahlung einer Option nachbauen lässt, indem man eine bestimmte Stückzahl der Aktie hält, den Rest leiht oder anlegt und diese Mischung laufend anpasst, während der Kurs sich bewegt. Wenn ein Portfolio die Option exakt nachbildet, muss die Option genau so viel kosten wie der Nachbau. Sonst könnten Sie das Billigere kaufen, das Teurere verkaufen und die Differenz ohne Risiko einstreichen. Irgendjemand würde das tun. Deshalb taucht die erwartete Rendite der Aktie in der Formel überhaupt nicht auf. Ein Optimist und ein Pessimist, die sich allein darüber einig sind, wie stark die Aktie schwankt, kommen auf denselben Optionspreis, obwohl sie das Unternehmen völlig unterschiedlich beurteilen. Für den Stillhalter, also die Gegenseite, die die Option verkauft und dafür die Prämie kassiert, gilt dieselbe Rechnung mit umgekehrtem Vorzeichen.

Option, Optionsschein oder Turbo: drei verschiedene Produkte

Bevor Sie in Deutschland überhaupt einen Preis nachrechnen, sollten Sie wissen, was Sie vor sich haben, denn hierzulande werden drei sehr unterschiedliche Produkte umgangssprachlich in einen Topf geworfen. Eine Option im engeren Sinn ist ein börsengehandelter, standardisierter Optionskontrakt, in Europa vor allem an der Eurex, mit festen Kontraktspezifikationen und üblicherweise 100 Aktien je Kontrakt. Juristisch ist sie ein bedingtes Termingeschäft, bedingt deshalb, weil allein der Käufer entscheidet, ob überhaupt ausgeübt wird. Verwechseln Sie das nicht mit einem Future, einem unbedingten Termingeschäft, bei dem die Erfüllung von vornherein feststeht. Sie können eine Option kaufen, und Sie können sie als Stillhalter verkaufen. Ein Optionsschein dagegen ist ein Wertpapier, das eine Bank begibt: Sie können ihn nur kaufen, der Emittent stellt die Kurse selbst, und wird dieser Emittent zahlungsunfähig, ist Ihr Schein praktisch wertlos, egal wie gut Ihre Marktmeinung war. Dieses Emittentenrisiko gibt es bei der börsengehandelten Option nicht, weil dort mit Eurex Clearing eine zentrale Gegenpartei zwischen Käufer und Verkäufer steht.

Beim Optionsschein kommt das Bezugsverhältnis dazu. Ein Schein mit einem Bezugsverhältnis von 0,1 bezieht sich auf ein Zehntel Aktie, sein Preis liegt also ungefähr bei einem Zehntel des rechnerischen Optionspreises, und wer das übersieht, verrechnet sich um den Faktor zehn. Die Unterlagen, in die Sie dafür wirklich schauen, sind das Basisinformationsblatt und die Endgültigen Bedingungen zum Basisprospekt, den die BaFin gebilligt hat. Gehandelt werden diese Papiere an der Börse Stuttgart mit ihrem Segment EUWAX und an der Börse Frankfurt, sehr oft aber auch außerbörslich im Direkthandel mit dem Emittenten selbst, der dann Verkäufer und Preisstelle in einer Person ist. Und dann gibt es noch Knock-out-Zertifikate, in der Werbung gern Turbo genannt: Sie haben kaum Zeitwert, dafür eine Schwelle, bei deren Berührung das Papier praktisch sofort verfällt. Black-Scholes beschreibt sie nur am Rande, weil ihr Preis fast vollständig aus innerem Wert plus Finanzierungskosten besteht.

Die sechs Eingaben und wie jede einzelne wirkt

Zwei Eingaben sind offensichtlich. Der aktuelle Kurs des Basiswerts und der Basispreis, im Handel meist Strike genannt, legen zusammen fest, wie weit die Option davon entfernt ist, überhaupt etwas auszuzahlen. Zahlt sie beim heutigen Kurs schon etwas aus, sagt man im Handel, sie liegt im Geld, sonst liegt sie aus dem Geld. Eine Kaufoption, im Handel Call genannt, mit einem Basispreis über dem heutigen Kurs zahlt nur dann etwas aus, wenn die Aktie darüber steigt. Je weiter dieser Basispreis entfernt liegt, desto billiger ist der Call und desto unwahrscheinlicher ist es, dass er am Ende überhaupt eine Rolle spielt. Steigt der Kurs, gewinnt die Kaufoption, und die Verkaufsoption, der Put, verliert. So weit kein Rätsel.

Die Restlaufzeit ist die erste Eingabe, die harmloser aussieht, als sie ist. Mehr Zeit bedeutet mehr Raum für Bewegung, deshalb kostet eine länger laufende Option mehr als eine sonst identische kurze. Dieser Aufschlag heißt Zeitwert, und er verfällt nicht gleichmäßig, sondern immer schneller, je näher der Verfallstag rückt. Eine Option mit einem Monat Restlaufzeit gibt an jedem Tag einen viel größeren Anteil ihres verbliebenen Zeitwerts ab als eine mit einem Jahr. Dieser Schwund hat einen Namen, Theta, und er gehört zu den Optionskennzahlen, die im Handel schlicht die Griechen heißen. An ihm scheitert fast jeder Anfänger, der eine Option kauft und dann geduldig abwartet.

Die Volatilität leistet die meiste Arbeit

Volatilität meint im Modell die auf ein Jahr hochgerechnete Standardabweichung der Aktienrenditen, also in einfachen Worten, wie stark der Kurs üblicherweise ausschlägt. Erhöhen Sie diesen Wert, werden Kaufoption und Verkaufsoption beide teurer. Das fühlt sich zunächst falsch an, bis man merkt, wie ungleich die beiden Seiten für den Käufer verteilt sind: Verlieren kann er höchstens die gezahlte Prämie, nach oben steht ihm alles offen. Größere Ausschläge vergrößern also seine gute Seite, während die schlechte gedeckelt bleibt. Die Volatilität ist außerdem die einzige Eingabe, die Sie nirgends nachschlagen können. Kurs, Basispreis, die verbleibenden Tage, Zinssatz und erwartete Ausschüttung sind Tatsachen. Die künftige Schwankung über die Laufzeit ist eine Annahme. Deshalb ist fast jeder Streit über den Wert einer Option in Wahrheit ein Streit über diese eine Zahl.

Zins und Dividende, die zwei leisen Eingaben

Wer eine Kaufoption statt der Aktie kauft, schiebt die Zahlung des Basispreises in die Zukunft, und Geld, das noch nicht abgeflossen ist, kann bis dahin zum risikofreien Zinssatz angelegt bleiben. Höhere Zinsen senken deshalb den Barwert dieser späteren Zahlung und heben Kaufoptionen an, bei Verkaufsoptionen wirkt es umgekehrt. Der Effekt ist echt, neben der Volatilität aber klein. Dividenden ziehen in die andere Richtung. Der Inhaber einer Option bekommt keine, und die Aktie fällt am Ex-Tag ungefähr um die ausgeschüttete Dividende, also drücken erwartete Ausschüttungen die Kaufoption und heben die Verkaufsoption. Bei deutschen Indexoptionen entschärft sich dieser Punkt, denn der DAX ist ein Performanceindex, in dem Dividenden rechnerisch wieder angelegt werden. Bei einer Option auf eine einzelne deutsche Aktie müssen Sie die Ausschüttung dagegen ausdrücklich berücksichtigen. Genau deshalb hat die Fassung des Modells, die in der Praxis benutzt wird, eine eigene Eingabe für die Dividende: Die Arbeit von 1973 ging noch von einer Aktie ohne jede Ausschüttung aus.

Ein Rechenbeispiel mit bewusst runden Zahlen

Nehmen Sie eine Aktie bei 100 € und eine Kaufoption mit einem Basispreis von 100 €. Die Zahlen sind bewusst rund gewählt, damit man sie im Kopf behalten kann, und beschreiben kein reales Wertpapier. Diese Option hat keinen inneren Wert, denn wer sie heute ausübt, gewinnt nichts. Alles, was sie kostet, ist Bezahlung für das, was bis zum Verfallstag noch passieren kann. Vergleichen Sie nun zwei Varianten, eine mit einem Monat und eine mit einem Jahr Laufzeit. Die einjährige kostet spürbar mehr, und dieser ganze Unterschied kauft nichts anderes als elf zusätzliche Monate, in denen sich der Kurs bewegen darf.

Verändern Sie jetzt eine Eingabe nach der anderen, dann spüren Sie die Mechanik. Schieben Sie den Basispreis auf 120 €, wird die Kaufoption viel billiger, weil die Aktie erst um ein Fünftel steigen muss, bevor am Verfallstag überhaupt etwas übrig bleibt. Halbieren Sie die angenommene Volatilität, werden beide Varianten billiger, die mit dem Basispreis von 120 € aber anteilig weit stärker, weil ein weit entfernter Basispreis vollständig davon lebt, dass die große Bewegung wirklich eintritt. Genau deshalb sind billig aussehende, weit aus dem Geld liegende Optionsscheine so billig. Sie bekommen kein Schnäppchen, Sie bekommen eine niedrige Wahrscheinlichkeit.

Was das Modell annimmt und was der Markt tatsächlich tut

Die Mathematik braucht einen Kurs, der sich in kleinen, lückenlosen Schritten mit konstanter Volatilität bewegt, in einem Markt, der nie schließt und in dem Handeln nichts kostet. Reale Kurse halten sich nicht daran. Ein Unternehmen legt nach Börsenschluss Zahlen vor, und die Aktie eröffnet am nächsten Morgen auf einem ganz anderen Niveau. Niemand passt eine Absicherung wirklich fortlaufend an, und jede Anpassung kostet Gebühren. Dazu kommt der Ausübungszeitpunkt. Die Standardformel bewertet europäische Optionen, die nur am Verfallstag ausgeübt werden können. An der Eurex sind Optionen auf den DAX europäisch und werden per Barausgleich abgerechnet, Optionen auf einzelne Aktien dagegen in der Regel amerikanisch, also während der gesamten Laufzeit ausübbar, und sie werden durch Lieferung der Stücke erfüllt. Das macht das Modell nicht wertlos. Es macht es zu einer Vereinfachung, deren Ränder Sie kennen sollten.

Das Volatilitätslächeln und die implizite Volatilität

Würde das Modell die Wirklichkeit beschreiben, müsste eine einzige Volatilitätszahl für sämtliche Optionen auf dieselbe Aktie mit demselben Verfallstag den richtigen Preis liefern, gleich bei welchem Basispreis. Sie tut es nicht. Rechnen Sie aus echten Marktpreisen zurück, liefert Ihnen jeder Basispreis eine andere Volatilität, meist eine höhere bei Basispreisen deutlich unter dem aktuellen Kurs. Im Handel heißt diese Form Smile, oder Skew, wenn sie einseitig kippt, und bei Aktienindexoptionen ist diese Schiefe seit dem Crash im Oktober 1987 dauerhaft da. Der Grund ist wenig geheimnisvoll: Märkte fallen schneller und heftiger, als ein glattes, stetiges Modell zulässt, und für Schutz genau dagegen zahlen Anleger echtes Geld.

Diese Rückwärtsrechnung verdient einen eigenen Namen, weil Optionen in der Praxis so besprochen werden. Statt eine Volatilität hineinzugeben und einen Preis abzulesen, geben Sie den beobachteten Marktpreis hinein und lösen nach der Volatilität auf, die das Modell braucht, um genau diesen Preis zu erzeugen. Das Ergebnis ist die implizite Volatilität, und Profis quotieren Optionen in ihr statt in Euro, weil eine Prämie von zwei Euro nichts aussagt, solange Sie Basispreis und Laufzeit nicht kennen, während eine Volatilitätszahl über beides hinweg vergleichbar bleibt. In Deutschland können Sie diesen Gedanken sogar täglich ablesen: Der VDAX-NEW der Deutschen Börse fasst die aus DAX-Optionen abgeleitete erwartete Schwankungsbreite in einer einzigen Kennzahl zusammen.

Lesen Sie diese Zahl für das, was sie ist, und nicht für mehr. Die implizite Volatilität ist die gemeinsame Erwartung des Marktes darüber, wie stark sich der Kurs bewegt, in beide Richtungen, zuzüglich des Aufschlags, den Verkäufer für das übernommene Risiko verlangen. Über die Richtung sagt sie nichts. Ein hoher Wert in den Tagen vor den Quartalszahlen ist keine Vorhersage schlechter Nachrichten, sondern die Aussage, dass die Spanne möglicher Ergebnisse gerade breiter geworden ist. Genau deshalb kosten Optionen über diesen Termin hinweg mehr.

Bevor Sie die erste Option handeln

In Deutschland kommen Sie an Optionen und Optionsscheine nicht ohne Vorprüfung heran. Ihr Broker muss nach den Vorgaben der europäischen Finanzmarktrichtlinie MiFID II, die im Wertpapierhandelsgesetz umgesetzt ist, Ihre Kenntnisse und Erfahrungen abfragen, bevor er Ihnen den Handel mit Derivaten freischaltet. Diese Abfrage heißt Angemessenheitsprüfung, und das Gesetz verlangt zunächst nur eines: Passt das Produkt nicht zu Ihren Angaben, muss der Broker Sie ausdrücklich warnen. Viele deutsche Broker gehen freiwillig weiter und schalten bestimmte Produkte über eigene Erfahrungs- oder Risikoklassen gar nicht erst frei. Wer die Fragen ehrlich beantwortet und dann eine Absage kassiert, wird deshalb nicht schikaniert, sondern trifft auf eine Bremse, die genau dafür gedacht ist. Die Aufsicht über Emittenten und Wertpapierdienstleister führt die BaFin, die Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht, die auch den Basisprospekt eines Optionsscheins billigt. Steuerlich gelten für Gewinne und Verluste aus Termingeschäften eigene Regeln, die der Gesetzgeber in den vergangenen Jahren mehrfach angefasst hat. Welche Fassung für Ihr Steuerjahr gilt, klären Sie bitte über das Bundesfinanzministerium, Ihr Finanzamt oder Ihre Steuerberatung, bevor Sie sich auf ein Ergebnis verlassen.

Wie Sie einen Modellpreis nutzen, ohne ihm zu glauben

Behandeln Sie das Ergebnis als Bezugspunkt, nicht als Urteil. Ein Modellpreis sagt Ihnen, was eine Option kosten müsste, wenn sich die Aktie so verhält, wie Sie es angenommen haben, und seine eigentliche Aufgabe besteht darin, Ihre eigene Annahme sichtbar zu machen. Verlangt der Markt mehr als Ihre Zahl, haben Sie vermutlich keine Fehlbewertung gefunden, sondern einen Markt, der mit mehr Bewegung rechnet als Sie, und die nützliche Frage lautet, wer von beiden das bessere Argument hat. So verstanden ist Black-Scholes ein Denkwerkzeug und kein Schnäppchendetektor. Rechnen Sie deshalb vor jedem Kauf und vor jedem Verkauf zweimal, einmal mit der Volatilität, die Sie für richtig halten, und einmal mit der, die der Markt gerade verlangt, und schauen Sie sich die Lücke zwischen beiden Zahlen an. Wenn Sie in einem klaren Satz nicht erklären können, warum die beiden auseinanderliegen, haben Sie noch keinen Grund für den Trade, und genau an dieser Stelle beginnt üblicherweise der Schaden.

Verfasst von

Federico Romaldi

Mitgründer, Worthmap

Veröffentlicht: 14. August 2026

Federico ist Mitgründer von Worthmap, einer Vermögensplattform für Anleger, die es ernst meinen. Er kommt aus der Softwareentwicklung und ist seit Langem vom Value Investing überzeugt. Worthmap hat er gebaut, um die Lücke zwischen Vermögensübersicht und Anlageanalyse zu schließen.